Marjorie Rice y Aubrey de Gray, que no tenían educación superior en matemáticas o en ciencias, contribuyeron a resolver problemas famosos de geometría plana y teoría de grafos. En general, hay muchas formas de demostrar problemas erróneos propuestos por matemáticos aficionados; Por ejemplo, cada dos días alguien afirma tener nuevas pruebas de la famosa hipótesis de Riemann.
Problemas de matemáticas y pentágonos resueltos con polígonos convexos
Esto significa que la mayoría de los matemáticos profesionales ni siquiera se molestan en considerar ninguna de las soluciones propuestas para no perder el tiempo. Sin embargo, hay excepciones para esta regla. Dos ejemplos típicos son Marjorie Rice, ama de casa de California EE.UU. y Aubrey de Gray, biólogo británico que ha resuelto problemas importantes y difíciles. En 1975, Rice propuso cuatro nuevos tipos de pentágonos convexos que cubren un plano, uno de los problemas más antiguos de la geometría. Los polígonos convexos son polígonos en los que, si tomas dos puntos de la forma, la línea que los conecta también quedará dentro de ellos.
La primera pregunta es ¿qué polígono convexo permite cubrir todo el plano sin superposiciones y sin espacios? Para crear un mosaico, puedes mover, rotar y reflejar el polígono inicial, pero nada más; ni cambiar su tamaño ni deformarlos. Los antiguos griegos demostraron que los únicos polígonos regulares con lados iguales y ángulos interiores que cubren un plano sin dejar espacios son los triángulos equiláteros, los cuadrados y los hexágonos regulares. Sin embargo, si se utiliza un polígono convexo más general, el problema se vuelve mucho más difícil.
Se sabe desde hace mucho tiempo que todos los triángulos y cuadriláteros convexos son posibles. También se demostró que sólo tres familias de hexágonos convexos pueden cubrir un plano y que ningún otro polígono convexo con más de seis lados puede hacerlo. Sin embargo, el caso más difícil surge cuando se consideran pentágonos convexos. Los primeros cinco grupos pentagonales que cubren el plano fueron descubiertos hace más de 100 años. En el año 1968, el expertó halló tres métodos más, y confirmó erróneamente que había demostrado que las ocho formas eran solamente los únicos pentágonos convexos que cubrían la superficie plana.
Superposiciones de familias de pentágonos convexos
Marjorie Rice encontró un artículo en Scientific American que mencionaba este resultado. A pesar de tener solo un diploma de escuela secundaria y una gran pasión por el arte, Rice pronto descubrió cuatro nuevos tipos de pentágonos flotantes que cubrían el avión. En honor a Rice, fallecida en 2017 a la edad de 94 años, una pieza única en su tipo está representada por una baldosa pentagonal que cubre el suelo del vestíbulo de la sede de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas en Washington, EE.UU. Con el tiempo, se descubrieron más superposiciones, lo que elevó el número total de familias de pentágonos convexos a 15.
Finalmente, en 2017, el matemático Mikael Rao utilizó una prueba por computadora para demostrar que solo 15 de estas familias conocidas de pentágonos convexos pueden cubrir un avión. En otra historia de contribuciones de aficionados a las matemáticas, el biólogo de medios Aubrey de Gray logró importantes avances en la resolución del problema de la coloración de planos, un famoso problema de la teoría de grafos relacionado con otros problemas en este campo.
También conocido como problema de Hadwiger-Nelson, implica encontrar el número mínimo de colores necesarios para colorear un plano de modo que cada par de puntos equidistantes entre sí tenga colores diferentes. Esta cantidad se llama cromaticidad del avión. Los matemáticos Hugo Hadwiger y Edward Nelson investigaron y publicaron este problema en las décadas de 1940 y 1950. Pronto se descubrieron los límites superior e inferior del número de colores del avión. Como sabemos, el límite superior es siete porque puedes colorear un plano con solo siete colores, de modo que ningún par de puntos separados por una distancia tendrá el mismo color. Por lo cual, se cubre el plano con un hexágono regular, teniendo éste un diámetro discretamente menos a uno.
Inmortalidad de las matemáticas
Como cada hexágono rodea a otros seis hexágonos, se utilizan siete colores: un color para el hexágono del medio y seis colores para los hexágonos vecinos. Según esta estrategia, todos los hexágonos se colorean y los planos se colorean cuando es necesario. En cuanto al límite inferior, obviamente es tres. Son necesarios tres colores distintos para colorear los vértices de un triángulo equilátero, con un colo cada lado. Un gráfico un poco más complicado, llamado pivote de siete picos de Moser, descubierto en 1961, mostró la necesidad de al menos cuatro colores.
Todo ello confirma que el número de colores del avión es cuatro, cinco, seis o siete. Y así permaneció durante casi 60 años, hasta la obra de Aubrey de Gray en 2018. De Gray, un científico famoso por su creencia de que la tecnología médica podría permitir a los humanos modernos evitar la muerte por causas relacionadas con la edad, se hizo amigo de matemáticos porque comparten la pasión por los juegos de mesa.
Le introdujeron en la teoría de grafos y el problema de Hadwiger-Nelson, y De Gray estudió estos temas durante muchos años. En 2018, publicó un trabajo que muestra que el número de colores planos es al menos cinco. Para ello, conectó varias copias del huso de Moser y construyó un gráfico monstruoso con 20.425 vértices que no se podía colorear con cuatro colores. El tamaño de estos gráficos incoloros de cuatro colores se reduce luego a 509 vértices. El problema general aún no está resuelto, pero gracias al trabajo de este biólogo se sabe que el número de colores del avión es cinco, seis o siete. Puede que De Gray no haya alcanzado la inmortalidad biológica, pero ciertamente logró la inmortalidad matemática.
